K 最近邻算法（KNN）

楚新元 / 2023-11-01

理解近邻分类

你知道蛋白质、蔬菜和水果是怎么分类的吗？生活中我们发现既不脆也不甜的是蛋白质，脆而不甜的是蔬菜，而水果往往是甜的，有可能脆也有可能不脆。基于以上生活经验（人以群分，物以类聚），那么你知道西红柿是水果还是蔬菜呢？首先我们来看下面一组数据。

食物	甜度	脆度	食物类型
葡萄	8	5	水果
四季豆	3	7	蔬菜
坚果	3	6	蛋白质
橙子	7	3	水果

现在如果我们知道西红柿的甜度为 6，脆度为 4，如果我们把这些数据放在横轴为甜度，纵轴为脆度的二维平面图上，我们很容易计算出西红柿与其他四种食物之间的直线距离。例如西红柿和四季豆之间的距离为：

$$ d(西红柿, 四季豆) = \sqrt{(6-3)^2 + (4-7)^2} =4.2 $$

根据以上算法，我们分别计算了西红柿和葡萄、四季豆、坚果、橙子之间的距离，分别是2.2、4.2、3.6、1.4。

我们发现西红柿和橙子之间的距离最短，那么我们据此认为西红柿是一种水果。这里其实是只选了一个最近的“邻居”，即 $k=1$，是一个 1NN 分类。

如果我们使用 $k=3$ 的 KNN 算法。那么它会在三个最近邻居即橙子、葡萄和坚果之间进行投票表决。因为这个里面有两票归为水果（2/3的票数），所以西红柿再次归为水果。

定义最近邻

在 KNN 算法中，常用的距离有三种，分别为曼哈顿距离、欧几里得距离和闵可夫斯基距离。在寻找最近邻的过程中，一般使用欧几里得距离来确定最近的邻居。

那么 k 究竟选择多少合适呢？

如果我们选择一个单一的近邻或者 k 很小的情况下，这会使得噪声数据或者异常值过度影响模型，导致模型不稳定。
如果我们选择一个很大的 k，会减少噪声数据对模型的影响，或者说减少噪声导致的模型的波动，但是它会使分类器忽视不易察觉但是却很重要的模式风险，同时可能会选择与新实例相距甚远的实例为邻居。

可以使用几种策略来选择 k 参数，第一个快速直接的解决方法是将 k 设置为训练实例数量的平方根；另一种方法是使用验证集上的优化工具选择 k，在这种情况下，将训练集进一步划分为训练集和验证集，并选择 k，以便使用训练数据将验证数据的预测准确性最大化，k 应该最小化诸如MAPE之类的预测精度统计量(Hyndman and Koehler 2006)，应该注意的是，这种优化策略非常耗时；Martínez 等（2019）探索的第三个策略是使用多个具有不同 k 值的KNN模型，每个KNN模型都会生成其预测，并对不同模型的预测值求平均，以生成最终预测值(Martínez et al. 2019)，此策略基于模型组合在时间序列预测中的成功实践(Hibon and Evgeniou 2005)，这种方式，避免了使用费时的优化工具，并且预测也不基于唯一的 k 值。

待预测新实例目标值计算方法选择

一旦我们根据特征确定了对 k 个最近邻居，我们就可以汇总这 k 个最近邻居的目标得到待预测新实例的目标值。默认情况下对 k 个最近邻居的目标取平均值。但是，我们除了取 k 个最近邻居的目标取平均值外，还可以选择取去掉最大最小值后的平均数、中位数和加权平均数。如果选择加权平均数算法，其核心思想是将更多的权重分配给更近的邻居。

注意，如果根据加权平均法预测新实例的目标，则 k 参数的选择就不太重要，因为邻居在远离新实例时会获得一个较小的权重。在这种情况下，如果k的取值足够大，正好等于训练实例的数目时，可以视为广义回归神经网络来处理(Weizhong Yan 2012)。

KNN算法对数据的要求

如果我们在数据集中加入另外一个特征，比如食物的辛辣度，辛辣度的取值在 0~100 多万，而甜度和脆度的取值在 1~10 之间，所以尺度的差异，导致辛辣对距离函数的影响远远超过了甜度和脆度，如果不对数据进行调整，那么我们可以预见，距离度量和辛辣度有很大的关系，而脆度、甜度的影响几乎可以忽略不计。

解决的方法便是对原数据进行标准化处理，使各个特征的值都落在 0~1 范围内，或者使各个特征在量上具有可比性。常用的方法有两种：

min-max标准化。特征X的每一个值减去它的最小值再除以特征X的极差。这里直接创建一个函数方便后期调用。

normalize_mm = function(x) {
  return ((x - min(x)) / (max(x) - min(x)))
}

z-分数标准化。特征 X 的每一个值减去特征 X 的均值后，再除以特征 X 的标准差。创建函数如下：

normalize_z = function(x) {
  return ((x - mean(x)) / sd(x))
}

注意：计算非数值型数据的距离，需要将原数据先转化为数值型数据。一种典型的解决方案使利用虚拟变量编码。例如 1 表示男性，0 表示女性。

第一步收集数据

案例来自 R 语言实战第二版(Kabacoff 2011)。文中数据来源为威斯康星州乳腺癌数据集，本数据包含 699 个样本，11 个变量。可在 UCI机器学习数据库中找到。

# 获取原始数据
loc = "https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/"
ds = "breast-cancer-wisconsin/breast-cancer-wisconsin.data"
url = paste0(loc, ds)
breast = read.table(url, sep = ",", header = FALSE, na.strings = "?")

# 对原始数据添加变量名称
names(breast) = c(
  "ID", "clumpThickness", "sizeUniformity", "shapeUniformity",
  "maginalAdhesion", "singleEpithelialCellSize", "bareNuclei",
  "blandChromatin", "normalNucleoli", "mitosis", "class"
)

# 设置因子变量，原数据中 class 编码为 2 代表良性，4 代表恶性
breast$class = factor(
  breast$class, 
  levels=c(2,4),
  labels=c("benign", "malignant")
)

数据集中的变量说明：

ID：样本ID号码
clumpThickness：肿块厚度
sizeUniformity：细胞大小的均匀性
shapeUniformity：细胞形状的均匀性
maginalAdhesion：边际附着力
singleEpithelialCellSize：单个上皮细胞大小
bareNuclei：裸核
blandChromatin：乏味染色体
normalNucleoli：正常核
mitosis：有丝分裂
class：类别。benign表示良性，malignant表示恶性。

第二步探索和准备数据

# 清洗数据
library(dplyr)
breast %>% 
  select(-ID) %>%   # 去掉ID列，此列属于模型无关变量
  na.omit() -> df  # 缺失值占比很少，此处直接删除

# 对除class列的数据进行标准化处理
df_n = as.data.frame(lapply(df[1:9], normalize_mm))

# 创建训练数据集和验证数据集
set.seed(1234)  # 设置随机数种子，方便重复性研究
train = sample(nrow(df), 0.7 * nrow(df))  # 原数据的随机抽取 70% 用来训练模型
df_train = df_n[train,]  # df_train为训练数据集
df_validate = df_n[-train,]  # df_validate为验证数据集
df_train_labels = df[train, 10] # 训练数据集诊断结果
df_validate_labels = df[-train, 10] # 验证数据集诊断结果

# 对训练数据和验证数据做初步统计
df_train %>%
  cbind(df_train_labels) %>% 
  rename(class = df_train_labels) %>% 
  mutate(value = 1) %>%
  group_by(class) %>%
  summarise(
    total = sum(value)
  ) -> train_stat

df_validate %>%
  cbind(df_validate_labels) %>%
  rename(class = df_validate_labels) %>% 
  mutate(value = 1) %>%
  group_by(class) %>%
  summarise(
    total = sum(value)
  ) -> validate_stat

第一个变量ID不纳入数据分析，最后一个变量 class 即输出变量。

对于每一个样本来说，另外九个变量是与判别恶性肿瘤相关的细胞特征，任一变量都不能单独作为判别良性或恶性的标准，建模的目的是找到九个细胞特征的某种组合，从而实现对恶性肿瘤的准确预测。

数据从UCI数据库中抽取，剔除缺失值，并随机分出训练集和验证集，其中训练集中包含478个样本单元（占70%），其中良性样本单元302个，恶性样本单元176个；验证集中包含205个样本单元（占30%），其中良性142个，恶性63个。

第三步基于数据训练模型

因为训练的样本有 478 个，开根后是 22，因此此处 k 取22。

library(class)
knn.pred = knn(
  train = df_train,
  test = df_validate,
  cl = df_train_labels,
  k = 22
)

第四步评估模型的性能

library(gmodels)
CrossTable(
  x = df_validate_labels,
  y = knn.pred,
  dnn = c("Actual", "Predicted"),
  prop.chisq = FALSE
)

#> 
#>  
#>    Cell Contents
#> |-------------------------|
#> |                       N |
#> |           N / Row Total |
#> |           N / Col Total |
#> |         N / Table Total |
#> |-------------------------|
#> 
#>  
#> Total Observations in Table:  205 
#> 
#>  
#>              | Predicted 
#>       Actual |    benign | malignant | Row Total | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#>       benign |       140 |         2 |       142 | 
#>              |     0.986 |     0.014 |     0.693 | 
#>              |     0.979 |     0.032 |           | 
#>              |     0.683 |     0.010 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#>    malignant |         3 |        60 |        63 | 
#>              |     0.048 |     0.952 |     0.307 | 
#>              |     0.021 |     0.968 |           | 
#>              |     0.015 |     0.293 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#> Column Total |       143 |        62 |       205 | 
#>              |     0.698 |     0.302 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#> 
#>

左上角代表真阴性，右下角代表真阳性。预测的准确率为 (125+70)/205*100%=95.12%。同时我们也发现位于左下角的 8 个样本，实际为恶性，但是却被 KNN 错误地归为良性，即假阴性;右上角2个样本，实际为良性，却被 KNN 错误地归为恶性，即假阳性。但是预测的准确率还是比较高的，模型令人满意。

第五步提高模型的性能

这里我们可以尝试两种简单的改变，一是数据标准化处理时可以考虑采用 z-分数标准化，二是尝试几个不同的k值。需要注意的是，过分的追求预测的精度，可能导致过拟合，加大了拟合噪音的可能，从而使泛化能力变弱。

在确定 k 值方面，caret 包又可以大显身手了。

library(caret)
set.seed(1234) # 设置随机数种子，方便重复性研究
grid = expand.grid(.k = seq(2, 20, by = 1))
control = trainControl(method = "cv")
df_validate %>%
  cbind(df_validate_labels) %>%
  rename(class = df_validate_labels)->train
knn.train = train(
  class ~ .,
  data = train,
  method = "knn",
  trControl = control,
  tuneGrid = grid
)
knn.train

#> k-Nearest Neighbors 
#> 
#> 205 samples
#>   9 predictor
#>   2 classes: 'benign', 'malignant' 
#> 
#> No pre-processing
#> Resampling: Cross-Validated (10 fold) 
#> Summary of sample sizes: 185, 184, 184, 185, 184, 185, ... 
#> Resampling results across tuning parameters:
#> 
#>   k   Accuracy   Kappa    
#>    2  0.9759524  0.9412545
#>    3  0.9709524  0.9298909
#>    4  0.9661905  0.9188071
#>    5  0.9757143  0.9410020
#>    6  0.9757143  0.9402357
#>    7  0.9757143  0.9402357
#>    8  0.9707143  0.9277898
#>    9  0.9757143  0.9402357
#>   10  0.9757143  0.9402357
#>   11  0.9707143  0.9277898
#>   12  0.9754762  0.9414350
#>   13  0.9754762  0.9414350
#>   14  0.9707143  0.9277898
#>   15  0.9659524  0.9166787
#>   16  0.9659524  0.9166787
#>   17  0.9659524  0.9166787
#>   18  0.9659524  0.9166787
#>   19  0.9659524  0.9166787
#>   20  0.9659524  0.9166787
#> 
#> Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
#> The final value used for the model was k = 2.

报告显示当 $k=5$ 时 Kappa 统计量（用于测量两个分类器对观测值分类的一致性）值最高。

下面我们利用 $k=5$ 重新训练模型：

knn.pred_new = knn(
  train = df_train,
  test = df_validate,
  cl = df_train_labels,
  k = 5
) 
CrossTable(
  x = df_validate_labels,
  y = knn.pred_new,
  dnn = c("Actual", "Predicted"),
  prop.chisq = FALSE
)

#> 
#>  
#>    Cell Contents
#> |-------------------------|
#> |                       N |
#> |           N / Row Total |
#> |           N / Col Total |
#> |         N / Table Total |
#> |-------------------------|
#> 
#>  
#> Total Observations in Table:  205 
#> 
#>  
#>              | Predicted 
#>       Actual |    benign | malignant | Row Total | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#>       benign |       139 |         3 |       142 | 
#>              |     0.979 |     0.021 |     0.693 | 
#>              |     0.979 |     0.048 |           | 
#>              |     0.678 |     0.015 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#>    malignant |         3 |        60 |        63 | 
#>              |     0.048 |     0.952 |     0.307 | 
#>              |     0.021 |     0.952 |           | 
#>              |     0.015 |     0.293 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#> Column Total |       142 |        63 |       205 | 
#>              |     0.693 |     0.307 |           | 
#> -------------|-----------|-----------|-----------|
#> 
#>

我们比较两次结果，我们发现假阴性减少了 4 个，真阳性增加 2 个，但是总体上预测的精度还是提高到了 (123+74)/205*100%=96.10%，精度提高近 1 个百分点。

笔者也尝试了利用z-分数标准化对原数据进行处理，根据Kappa统计量确定最优 k 值为 11,结果显示真阴性为 123，真阳性为 73，假阴性为 5，假阳性为 4，精度为 (123+73)/205*100%=95.61%，精度也是略有提升的。

最后需要指出的是，还有其他方法可以对距离进行加权，kknn 包提供了 10 中不同的加权方式，有兴趣可以尝试。

参考文献

Hibon, Michèle, and Theodoros Evgeniou. 2005. “To Combine or Not to Combine: Selecting Among Forecasts and Their Combinations.” International Journal of Forecasting 21 (1): 15–24. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2004.05.002.

Hyndman, Rob J., and Anne B. Koehler. 2006. “Another Look at Measures of Forecast Accuracy.” International Journal of Forecasting 22 (4): 679–88. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2006.03.001.

Kabacoff, Robert. 2011. R in Action. Manning Publications. https://book.douban.com/subject/6126331/.

Martínez, Francisco, María Pilar Frías, María Dolores Pérez, and Antonio Jesús Rivera. 2019. “A Methodology for Applying k-Nearest Neighbor to Time Series Forecasting.” Artificial Intelligence Review 52 (3): 2019–37. https://doi.org/10.1007/s10462-017-9593-z.

Weizhong Yan. 2012. “Toward Automatic Time-Series Forecasting Using Neural Networks.” IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems 23 (7): 1028–39. https://doi.org/10.1109/TNNLS.2012.2198074.