理解近邻分类

你知道蛋白质、蔬菜和水果是怎么分类的吗？生活中我们发现既不脆也不甜的是蛋白质，脆而不甜的是蔬菜，而水果往往是甜的，有可能脆也有可能不脆。基于以上生活经验（人以群分，物以类聚），那么你知道西红柿是水果还是蔬菜呢？首先我们来看下面一组数据。

食物 甜度 脆度 食物类型
葡萄 8 5 水果
四季豆 3 7 蔬菜
坚果 3 6 蛋白质
橙子 7 3 水果

现在如果我们知道西红柿的甜度为6，脆度为4，如果我们把这些数据放在横轴为甜度，纵轴为脆度的二维平面图上，我们很容易计算出西红柿与其他四种食物之间的直线距离。例如西红柿和四季豆之间的距离为：

$$ d(西红柿, 四季豆) = \sqrt{(6-3)^2 + (4-7)^2} =4.2 $$

根据以上算法，我们分别计算了西红柿和葡萄、四季豆、坚果、橙子之间的距离，分别是2.2、4.2、3.6、1.4。

我们发现西红柿和橙子之间的距离最短，那么我们据此认为西红柿是一种水果。这里其实是只选了一个最近的“邻居”，即k=1，是一个1NN分类。

如果我们使用k=3的KNN算法。那么它会在三个最近邻居即橙子、葡萄和坚果之间进行投票表决。因为这个里面有两票归为水果（2/3的票数），所以西红柿再次归为水果。

那么k究竟选择多少合适呢？

  • 如果我们选择一个很大的k，会减少噪声数据对模型的影响，或者说减少噪声导致的模型的波动，但是它会使分类器忽视不易察觉但是却很重要的模式风险。比如如果k选择所有观测值的数量，那么原数据中如果水果的占比非常高，那么投票结果也很容易导致西红柿被分到水果类。

  • 如果我们选择一个单一的近邻，这会使得噪声数据或者异常值过度影响模型，导致模型不稳定。

显然，最好的k值应该是两个极端值之间的某个值。在实际中，k一般选择样本量的平方根。比如有15个样本，15的平方根为3.87，我们可以设置k=4。另一种方法是居于各种测试数据集来测试多个k值，并选择一个各异提供最好分类性能的k值。除非噪音非常大，否则大的数据集可以使k值的选择不那么重要，因为参与“投票”的邻居足够多。

KNN算法对数据的要求

如果我们在数据集中加入另外一个特征，比如食物的辛辣度，辛辣度的取值在0~超过100万，而甜度和脆度的取值在1~10之间，所以尺度的差异，导致辛辣对距离函数的影响远远超过了甜度和脆度，如果不对数据进行调整，那么我们可以预见，距离度量和辛辣度有很大的关系，而脆度、甜度的影响几乎可以忽略不计。

解决的方法便是对原数据进行标准化处理，使各个特征的值都落在0~1范围内，或者使各个特征在量上具有可比性。常用的方法有两种：

  • min-max标准化。特征X的每一个值减去它的最小值再除以特征X的极差。这里直接创建一个函数方便后期调用。
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normalize_mm = function(x){
  return ((x-min(x)) / (max(x)-min(x)))
}
  • z-分数标准化。特征X的每一个值减去特征X的均值后，再除以特征X的标准差。创建函数如下：
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normalize_z = function(x){
  return ((x-mean(x)) / sd(x))
}

注意：计算非数值型数据的距离，需要将原数据先转化为数值型数据。一种典型的解决方案使利用虚拟变量编码。例如1表示男性，0表示女性。

第一步收集数据

文中数据来源为威斯康星州乳腺癌数据集，本数据包含699个样本，11个变量。可在 UCI机器学习数据库中找到。

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# 获取原始数据
loc = "https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/"
ds = "breast-cancer-wisconsin/breast-cancer-wisconsin.data"
url = paste(loc, ds, sep="")
breast = read.table(url, sep=",", header=FALSE, na.strings="?")

# 对原始数据添加变量名称
names(breast) = c("ID", "clumpThickness", "sizeUniformity","shapeUniformity",
                  "maginalAdhesion","singleEpithelialCellSize", "bareNuclei",
                  "blandChromatin", "normalNucleoli", "mitosis", "class")

# 设置因子变量，原数据中class编码为2代表良性，4代表恶性
breast$class = factor(breast$class, levels=c(2,4),
                  labels=c("benign", "malignant"))

数据集中的变量说明：

  • ID：样本ID号码
  • clumpThickness：肿块厚度
  • sizeUniformity：细胞大小的均匀性
  • shapeUniformity：细胞形状的均匀性
  • maginalAdhesion：边际附着力
  • singleEpithelialCellSize：单个上皮细胞大小
  • bareNuclei：裸核
  • blandChromatin：乏味染色体
  • normalNucleoli：正常核
  • mitosis：有丝分裂
  • class：类别。benign表示良性，malignant表示恶性。

第二步探索和准备数据

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# 清洗数据
library(tidyverse)
breast %>% 
  select(-ID) %>%   # 去掉ID列，此列属于模型无关变量
  na.omit() ->df  # 缺失值占比很少，此处直接删除

# 对除class列的数据进行标准化处理
df_n = as.data.frame(lapply(df[1:9], normalize_mm))

# 创建训练数据集和验证数据集
set.seed(1234)  # 设置随机数种子，方便重复性研究
train = sample(nrow(df), 0.7*nrow(df))  # 原数据的随机抽取70%用来训练模型
df_train = df_n[train,]  # df_train为训练数据集
df_validate = df_n[-train,]  # df_validate为验证数据集
df_train_labels = df[train, 10] # 训练数据集诊断结果
df_validate_labels = df[-train, 10] # 验证数据集诊断结果

# 对训练数据和验证数据做初步统计
df_train %>%
  cbind(df_train_labels) %>% 
  rename(class = df_train_labels) %>% 
  mutate(value = 1) %>%
  group_by(class) %>%
  summarise(total = sum(value))->train_stat

df_validate %>%
  cbind(df_validate_labels) %>%
  rename(class = df_validate_labels) %>% 
  mutate(value = 1) %>%
  group_by(class) %>%
  summarise(total = sum(value))->validate_stat

第一个变量ID不纳入数据分析，最后一个变量class即输出变量。

对于每一个样本来说，另外九个变量是与判别恶性肿瘤相关的细胞特征，任一变量都不能单独作 为判别良性或恶性的标准，建模的目的是找到九个细胞特征的某种组合，从而实现对恶性肿瘤的 准确预测。

数据从UCI数据库中抽取，剔除缺失值，并随机分出训练集和验证集，其中 训练集中包含478个样本单元 （占70%）， 其中良性样本单元317个， 恶性样本单元161个； 验证集中包含205个样本单元 （占30%）， 其中良性127个， 恶性78个。

第三步基于数据训练模型

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library(class)
knn.pred = knn(train = df_train,
               test = df_validate,
               cl = df_train_labels,
               k = 22)    # 参数取22是因为训练的样本有478个，开根后是22

第四步评估模型的性能

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library(gmodels)
CrossTable(x = df_validate_labels,
           y = knn.pred,
           dnn = c("Actual", "Predicted"),
           prop.chisq = FALSE)
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##    Cell Contents
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## |                       N |
## |           N / Row Total |
## |           N / Col Total |
## |         N / Table Total |
## |-------------------------|
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##  
## Total Observations in Table:  205 
## 
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##              | Predicted 
##       Actual |    benign | malignant | Row Total | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
##       benign |       125 |         2 |       127 | 
##              |     0.984 |     0.016 |     0.620 | 
##              |     0.940 |     0.028 |           | 
##              |     0.610 |     0.010 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
##    malignant |         8 |        70 |        78 | 
##              |     0.103 |     0.897 |     0.380 | 
##              |     0.060 |     0.972 |           | 
##              |     0.039 |     0.341 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
## Column Total |       133 |        72 |       205 | 
##              |     0.649 |     0.351 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
## 
##

左上角代表真阴性，右下角代表真阳性。预测的准确率为(125+70)/205*100%=95.12%。同时我们也发现位于左下角的8个样本，实际为恶性，但是却被KNN错误地归为良性，即假阴性;右上角2个样本，实际为良性，却被KNN错误地归为恶性，即假阳性。但是预测的准确率还是比较高的，模型令人满意。

第五步提高模型的性能

这里我们可以尝试两种简单的改变，一是数据标准化处理时可以考虑采用z-分数标准化，二是尝试几个不同的k值。需要注意的是，过分的追求预测的精度，可能导致过拟合，加大了拟合噪音的可能，从而使泛化能力变弱。

在确定k值方面，caret包又可以大显身手了。

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library(caret)
set.seed(1234) # 设置随机数种子，方便重复性研究
grid = expand.grid(.k = seq(2, 20, by = 1))
control = trainControl(method = "cv")
df_validate %>%
  cbind(df_validate_labels) %>%
  rename(class = df_validate_labels)->train
knn.train = train(class~.,
                  data = train, 
                  method = "knn",
                  trControl = control,
                  tuneGrid = grid)
knn.train
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## k-Nearest Neighbors 
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## 205 samples
##   9 predictor
##   2 classes: 'benign', 'malignant' 
## 
## No pre-processing
## Resampling: Cross-Validated (10 fold) 
## Summary of sample sizes: 185, 184, 185, 184, 185, 184, ... 
## Resampling results across tuning parameters:
## 
##   k   Accuracy   Kappa    
##    2  0.9561905  0.9049269
##    3  0.9564286  0.9067712
##    4  0.9466667  0.8857997
##    5  0.9611905  0.9170926
##    6  0.9561905  0.9064544
##    7  0.9511905  0.8953774
##    8  0.9514286  0.8951847
##    9  0.9609524  0.9163366
##   10  0.9609524  0.9163366
##   11  0.9511905  0.8933637
##   12  0.9511905  0.8933637
##   13  0.9511905  0.8933637
##   14  0.9461905  0.8817695
##   15  0.9461905  0.8817695
##   16  0.9511905  0.8933637
##   17  0.9414286  0.8714247
##   18  0.9461905  0.8817695
##   19  0.9464286  0.8830189
##   20  0.9414286  0.8699629
## 
## Accuracy was used to select the optimal model using the largest value.
## The final value used for the model was k = 5.

报告显示当k=5时Kappa统计量（用于测量两个分类器对观测值分类的一致性）值最高。

下面我们利用k=5重新训练模型：

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knn.pred_new = knn(train = df_train,
               test = df_validate,
               cl = df_train_labels,
               k = 5) 
CrossTable(x = df_validate_labels,
           y = knn.pred_new,
           dnn = c("Actual", "Predicted"),
           prop.chisq = FALSE)
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##    Cell Contents
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## |           N / Row Total |
## |           N / Col Total |
## |         N / Table Total |
## |-------------------------|
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## Total Observations in Table:  205 
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##              | Predicted 
##       Actual |    benign | malignant | Row Total | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
##       benign |       123 |         4 |       127 | 
##              |     0.969 |     0.031 |     0.620 | 
##              |     0.969 |     0.051 |           | 
##              |     0.600 |     0.020 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
##    malignant |         4 |        74 |        78 | 
##              |     0.051 |     0.949 |     0.380 | 
##              |     0.031 |     0.949 |           | 
##              |     0.020 |     0.361 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
## Column Total |       127 |        78 |       205 | 
##              |     0.620 |     0.380 |           | 
## -------------|-----------|-----------|-----------|
## 
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我们比较两次结果，我们发现假阴性减少了4个，真阳性增加2个，但是总体上预测的精度还是提高到了(123+74)/205*100%=96.10%，精度提高近1个百分点。

笔者也尝试了利用z-分数标准化对原数据进行处理，根据Kappa统计量确定最优k值为11,结果显示真阴性为123，真阳性为73，假阴性为5，假阳性为4，精度为(123+73)/205*100%=95.61%，精度也是略有提升的。

最后需要指出的是，还有其他方法可以对距离进行加权，kknn包提供了10中不同的加权方式，有兴趣可以尝试。